Processo ou fenômeno com resultados incertos, ou seja, não podemos prever o resultado com certeza, mas podemos descrever os possíveis resultados.

Exemplos de “Experimentos”/Processos Aleatórios:

• Variação diária da taxa de câmbio Real/Dólar
• Preço diário da saca de soja no Brasil
• Retorno de uma ação na B3 -
• Taxa de inadimplência de crédito em uma instituição financeira

Por que “experimento”?

• Termo herdado da física/estatística clássica
  
• Implica repetibilidade (condições controláveis)

• É qualquer conjundo do espaço amostral (\(S\)), incluindo resultados individuais, S e o cojunto nulo.

• Se um resultado é membro de um evento, dizemos que o evento ocorreu.

Exemplos:

• \(A = \{3\}\) é um evento de \(S_1\)

• \(B = \{Aprovado\}\) é um evento de \(S_2\)

• \(C = \{r > 0\}\) é um evento de \(S_3\)

“A Probabilidade de um evento A ocorrer em n repetições de um experimento é aproximadamente a frequência relativa de A”:

\[ P(A) \approx \frac{\text{vezes que A ocorreu}}{\text{nº total de repetições}} \quad \text{(para muitas tentativas)} \]

Exemplo:

• Em 10.000 lançamentos de moeda, saíram 4.983 caras → \(P(\text{cara}) \approx 0.4983\).

• Hospitais calculam mortalidade cirúrgica acompanhando resultados históricos.

🔍 A lei dos grandes números garante que essa aproximação melhora conforme aumentamos as repetições.

• Fundamento da escola frequentista de estatística.

Qual é a probabilidade de ele errar os próximos três arremessos que fizer e, em seguida, acertar os três seguintes?

Solução

\[ P(Errar)\cdot P(Errar)\cdot P(Errar)\cdot P(Acertar)\cdot P(Acertar) \\ \cdot P(Acertar) = (0,563)^3 \cdot (0,443)^3 = 0,015 \]

Obtemos o mesmo resultado para qualquer sequência específica de 3 erros e 3 acertos —a ordem não importa.

Qual é a probabilidade de ele errar três e acertar três dos próximos seis arremessos que fizer?

Solução

• Basta multiplicar a probabilidade de qualquer uma dessas sequências (0,015) pelo número dessas sequências:

• \(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20\).

• \(0,015 \cdot 20 = 0,30 = 30\%\)

Qual é a probabilidade de ele acertar pelo menos um arremesso nos próximos seis arremessos que fizer?

Solução

• \(P(X \geq 1)\) = ?

• Opção 1: Somar as probabilidades de cada resultado possível:

\[ P(X \geq 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \\ + P(X = 6) \]

• Opção 2: Mais simples:

\[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0,56)^6 = 0,969 \]

Se \(\{A_1,A_2,\dots,A_k\}\) é uma coleção de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, então, para qualquer outro evento \(B\):

\[ P(B) = \sum_{i=1}^k P(B|A_i)P(A_i) \]

Questão: Risco de Inadimplência

Um banco possui dois perfis de clientes:

• 70% têm bom crédito \(\rightarrow\) \(B_1\): cliente tem bom crédito \(\rightarrow\) \(P(B_1) = 0.7\)
• 30% têm crédito ruim \(\rightarrow\) \(B_2\): cliente tem crédito ruim \(\rightarrow\) \(P(B_2) = 0.3\)

As taxas de inadimplência são:

• 5% para clientes com bom crédito \(\rightarrow\) \(P(A|B_1) = 0.05\)
• 20% para clientes com crédito ruim \(\rightarrow\) \(P(A|B_2) = 0.20\)

Qual a probabilidade de um cliente qualquer ser inadimplente?

Solução

Pelo Teorema da Probabilidade Total:

\[ P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2) \]

Substituindo os valores:

\[ P(A) = 0.05 \cdot 0.7 + 0.20 \cdot 0.3 = 0.035 + 0.06 = {0.095} \]

A probabilidade total de inadimplência para qualquer cliente é de 9,5%.

Se \(\{A_1,A_2,\dots,A_k\}\) é uma coleção de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, então, para qualquer outro evento \(B\), com \(P(B) > 0\), temos:

\[ P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^k P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)} \]

Exemplo: Classificador de Risco de Crédito

Um banco utiliza um modelo de classificação de risco de inadimplência para avaliar novos clientes. Com base em dados históricos:

• 10% dos que aplicam são realmente inadimplentes
  
• 90% são adimplentes

O modelo apresenta os seguintes desempenhos:

• Sensibilidade (acerto entre inadimplentes):
  \(P(\text{classificado como alto risco} \mid \text{inadimplente}) = 0.9\)

• Falsos positivos (classifica adimplente como arriscado):
  \(P(\text{classificado como alto risco} \mid \text{adimplente}) = 0.2\)

Nomeando os eventos:

• \(A_1\): cliente é inadimplente
  
• \(A_2\): cliente é adimplente
  
• \(B\): cliente foi classificado como alto risco pelo modelo

Queremos calcular:

\[ P(A_1 \mid B) = P(\text{inadimplente} \mid \text{classificado como alto risco}) \]

Aplicando o Teorema de Bayes:

\[ P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1) \cdot P(A_1)} {P(B \mid A_1) \cdot P(A_1) + P(B \mid A_2) \cdot P(A_2)} \]

Substituindo os valores:

\[ P(A_1 \mid B) = \frac{0.9 \cdot 0.10} {0.9 \cdot 0.10 + 0.2 \cdot 0.90} = \frac{0.09}{0.09 + 0.18} = \frac{0.09}{0.27} \approx \boxed{0.333} \]

Mesmo com um modelo que acerta 90% dos inadimplentes, a chance de um cliente classificado como “alto risco” realmente ser inadimplente é de 33,3%.

Isso mostra que:

• A baixa prevalência da inadimplência (10%) limita o valor preditivo positivo do modelo.

• O Teorema de Bayes permite avaliar a utilidade real da classificação de risco feita pelo modelo.

• O Teorema de Bayes nos permite atualizar uma estimativa de probabilidade (a priori) com base em nova evidência observada.

• Neste caso, atualizamos a prabobilidade de inadimplência de 10% para 33,3% após sabermos que o cliente foi classificado como alto risco.

Processo Aleatório: Jogar uma moeda honesta duas vezes.

• Espaço amostral:

\[ S = \{HH, HT, TH, TT\}. \]

Problema: Qual a probabilidade de obter exatamente uma cara?

• Conjunto de resultados favoráveis:

  \[ A = \{HT, TH\}. \]
  

• Probabilidade: \[ P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{2}{4} = 0.5. \]

Problema: Qual a probabilidade de obter duas caras?

• Conjunto de resultados favoráveis:

  \[ B = \{HH\}. \]

• Probabilidade:

  \[ P(B) = \frac{|B|}{|S|} = \frac{1}{4} = 0.25. \]

Antes do conceito de VA, os cálculos eram feitos diretamente sobre eventos \(S\), sem uma função que mapeasse esses resultados para números.

Uma VA discreta pode assumir somente um número finito ou contavelmente infinito de valores.

Descrição

• Para VA discretas, podemos começar com uma descrição verbal, calcular probabilidades para cada valor da VA e, em seguida, escrever uma função ou desenhar um gráfico descrevendo essas probabilidades para diferentes valores da variável aleatória.

• Chamamos a função, tabela ou gráfico que associe a cada \(X\) sua probabilidade de ocorrer, uma distribuição de probabilidade de \(X\).

A funçao de probabilidade de uma VA discreta \(X\) é a função \(f_X(x)\), tal que para qualquer número real \(x\):

\[ f_X(x) = p(X = x) \]

A função de probabilidade tem propriedades induzidas pela definição axiomática de probabilidade. Em particular:

\[ \begin{align*} 0 \leq f_X(x_i) \leq 1 \\ \sum_i f_X(x_i) = 1 \\ P(A) = P(X \in A) = \sum_{x_i \in A} f_X(x_i) \end{align*} \]

• Uma VA contínua que pode assumir qualquer valor em algum intervalo, limitado ou ilimitado, de \(\mathbb{R}\).

• Para VA contínuas, raramente começamos com uma descrição verbal que usamos para calcular probabilidades. Em vez disso, normalmente nos é dada uma função, chamada densidade, que descreve a probabilidade de a variável aleatória estar em várias regiões.

• A função (densidade) de probabilidade, é a análoga contínua da FP discreta em muitos aspectos.

Definição em termos da FPD

• Uma VA \(X\) é contínua se existe uma função não negativa \(f_X\) tal que para qualquer intervalo \(A \subset \mathbb{R}\):

\[ P(X\in A) \;=\; \int_{A} \underbrace{f_X(x)}_{\text{Esta é a fdp}}\, dx \]

Assim como A FP, a FDP possui propriedades induzidas pela definição anterior de probabilidade. Em particular,

\[ \begin{align*} f_X(x_i) \geq 0 \quad \text{(pode ser maior que 1)}\\ \int f_X(x) = 1 \quad \text{(integral = 1, ao invés da soma)} \\ P(A) = P(a \leq X \leq b) = \int_A f_X(x)dx \end{align*} \]

Probabilidade pontual

Para uma VA X contínua, \(P(X = x) = 0\) para todo \(x\), pois integramos \(f_X\) em uma região particular para calcular a probabilidade de que a VA esteja nesta região.

Distribuição Bivariada Contínua

Se \(X\) e \(Y\) são VAs contínuas definidas no mesmo espaço amostral \(S\), então, a função de densidade conjunta de \(X\) e \(Y\) é representada por \(f_{xy}(x, y)\) é a superfície tal que para toda qualquer região \(A\) definida no plano \(xy\) é dada por:

\[ P((X,Y) \subset A) = \int \int_{A} f_{XY}(x, y)\,dx\,dy = 1 \]

Como antes, as propriedades de probabilidade implicam certas propriedades da PDF conjunta, como ela deve integrar-se a 1 sobre o plano \(xy\), e qualquer ponto individual ou curva unidimensional tem probabilidade zero.

Distribuição Bivariada Discreta

A função de probabilidade conjunta para VAs discretas é dada por:

\[ f_{XY}(x, y) = P(X = x \cap Y = y) \]

• Suponha que uma professora, depois de horas preparando aulas, sinta uma dor de cabeça terrível.

• Ela encontra um comprimido de naproxeno e um de paracetamol. Toma os dois.

• Seja \(X\) o período de eficácia do naproxeno. Seja \(Y\) o período de eficácia do paracetamol.

• Relação entre retorno de uma ação e a classificação de um analista.
• Retornos possíveis: −5%, 0% ou 5%.
• Classificações: negativa (−1), neutra (0), positiva (1).

• Esta função de probabilidade representa a distribuição conjunta de \(X_1\) e \(X_2\) e fornece uma descrição completa da incerteza em ambas as VAs.

• \(P(X_1 = -5\% \cap X_2 = \text{Neutra}) = 10\%\)

• \(\vdots\)

• A distribuição de um único componente de uma distribuição conjunta é chamada de distribuição marginal.

• A distribuição marginal de \(X_1\) e \(X_2\) contém as probabilidades de realizações de \(X_1\) e \(X_2\) e suas FP são \(f_{X_1}(x_1)\) e \(f_{X_2}(x_2)\).

• Uma FP marginal é definida por:

\[ f_{X_1}(x_1) = P(X_1 = x_1) = \sum_{x_2} f_{XY}(x_1, x_2) \quad\rightarrow\quad f_X(x) = \int_A f_{XY}(x, y) dy \]

e

\[ f_{X_2}(x_2) = P(X_2 = x_2) = \sum_{x_1} f_{XY}(x_1, x_2) \quad\rightarrow\quad f_Y(y) = \int_A f_{XY}(x, y) dx \]

• Quando uma FP é representada como uma tabela, as duas distribuições marginais são calculadas pela soma entre colunas (o que constrói a distribuição marginal da variáveis ​​de linha) ou pela soma entre linhas (o que constrói a distribuição marginal para as variáveis ​​de coluna).

• No caso do exemplo, temos:

• Similarmente à ideia de probabilidade condicional, queremos introduzir a distribuição condicional, que permite “atualizar” a distribuição de uma variável aleatória, se necessário, dadas informações relevantes.

• A distribuição condicional, resume a probabilidade dos resultados de uma variável aleatória condicionada à outra assumir um valor específico.

• A distribuição condicional de \(X_1\) dado \(X_2 = x_2\) é definida como:

\[ f_{X_1 \mid X_2}(X_1 \mid X_2 = x_2) = \frac{f_{X_1,X_2}(x_1, x_2)}{f_{X_2}(x_2)} \]

Exemplo: distribuição condicional de \(X_1\) dado \(X_2 = 1\) (Positiva).

Pela tabela anterior, a distribuição marginal de \(X_2 = 1\) é \(f_{X_2}(1) = 30\%\), logo:

\[ \begin{aligned} f(X_1 = -5\% \mid X_2 = 1) &= \tfrac{5\%}{30\%} = \tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\% \\ f(X_1 = 0\% \mid X_2 = 1) &= \tfrac{5\%}{30\%} = \tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\% \\ f(X_1 = 5\% \mid X_2 = 1) &= \tfrac{20\%}{30\%} = \tfrac{2}{3} \approx 66{,}7\% \end{aligned} \]

Não é de surpreender que exista uma relação entre distribuições condicionais e independência:

\[ f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y) \, \text{se, e somente se,} \, f_{XY}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) \\ \text{se, e somente se, X e Y são independentes} \]

Interpretação:

• Se duas VAs são independentes, saber algo sobre as realizações de uma não diz nada sobre a distribuição da outra.

• Em outras palavras, o condicionamento em x não faz com que você atualize a distribuição de Y, se X e Y são independentes